قراءة لمدة 1 دقيقة حدودية مميّزة

بالعربية :

تُعتبر الحدودية المميزة من المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي ونظرية المصفوفات. يُعرّف الحدود المميزة أو الحدودية المميزة (بالإنجليزية: characteristic polynomial) بأنها كثير حدود يُستخدم لتحديد الخصائص الأساسية لمصفوفة معينة. تحظى هذه الحدود بأهمية كبيرة في تحليل الأنظمة الديناميكية، نظرًا لطبيعتها المرتبطة بقيم المصفوفة الذاتية (Eigenvalues) وخصائصها.

الحدودية المميزة لمصفوفة A من الرتبة n تُعرف بأنها det(A - λI)، حيث λ هو متغير يمثل القيم الذاتية للمصفوفة وI هي المصفوفة الوحدة من نفس الرتبة. من خلال حساب المحدد، نستطيع الوصول إلى كثير الحدود الذي يشير إلى القيم الذاتية وخصائص أخرى للمصفوفة.

واستخدامات الحدودية المميزة متعددة للغاية، حيث تلعب دورًا هامًا في التطبيقات العملية مثل تحليل الاستقرار في الأنظمة الهندسية، وفهم خصائص الشبكات العصبية في تعلم الآلة، بالإضافة إلى تطبيقاتها في نظرية التحكم والميكانيكا. على سبيل المثال، في تحليل الأنظمة الديناميكية، يمكن استخدام الحدودية المميزة لدراسة سلوك الأنظمة تحت تأثير اضطرابات معينة.

لنفترض أن لدينا مصفوفة A تساوي:

A = <| 2 & 1 |
| 1 & 2 |

لحساب الحدودية المميزة، نحسب محدد (A - λI) كالتالي:

| 2-λ & 1 |
| 1 & 2-λ | = (2-λ)(2-λ) - (1)(1) = λ² - 4λ + 3.

بالتالي، الحدودية المميزة هي P(λ) = λ² - 4λ + 3، ويمكننا حل المعادلة للحصول على القيم الذاتية للمصفوفة.

بشكل عام، تُعطي الحدودية المميزة معلومات حيوية حول طيف المصفوفة، بما في ذلك الأماكن التي يمكن أن توجد بها قيمها الذاتية. يُعتبر فهم هذه الخصائص أساسيًا في مجالات متعددة مثل الهندسة وعلوم الحاسوب والفيزياء.

بالإنجليزية :

بالفرنسية :

بالصينية :

بالإسبانية :

بالروسية :