قراءة لمدة 1 دقيقة مبرهنة رول

بالعربية :

مبرهنة رول هي واحدة من المبادئ الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، وتُستخدم لتحديد النقاط التي يكون فيها التغير العددي للتابع مساوياً للصفر. تنص مبرهنة رول على أنه إذا كان لدينا دالة مستمرة ومشتقة في فترة مغلقة، فإنها تتضمن نقطة في تلك الفترة حيث يكون المشتق (التغير) مساوياً للصفر. أكثر دقة، إذا كانت الدالة f(x) مستمرة على الفترة المغلقة [a, b] وقابلة للاشتقاق في الفتحة (a, b)، وحقق الشرط f(a) = f(b)، فإنه يوجد على الأقل نقطة c في (a, b) حيث f'(c) = 0.

تعتبر هذه المبرهنة بمثابة حالة خاصة لمبرهنة التقاطع، وهي تأكيد على فكرة أن التغيرات المعروفة في الأكواد التي تتطلب أن تكون المتغيرات مستمرة ومتقاربة تتعلق بمشتقاتها. ويمكن استخدامها في مجالات متعددة، منها الرياضيات البحتة، الهندسة، وفي الكثير من التطبيقات التطبيقية مثل الاقتصاد، الفيزياء وغيرها.

أمثلة عملية:

لنفترض أن لدينا الدالة التالية:

f(x) = x^2 - 4x + 4

نحن بحاجة للتأكد من شروط مبرهنة رول. أولاً، نجد أن:

f(0) = 0^2 - 4*0 + 4 = 4

f(4) = 4^2 - 4*4 + 4 = 4

بذلك، f(0) = f(4). الآن علينا التأكد من أن الدالة مستمرة ومشتقة في الفترة [0, 4]. وقد نجد أن f(x) مستمرة ويمكننا الاشتقاق:

f'(x) = 2x - 4

الآن، نحتاج إلى إيجاد القيمة c التي تجعل f'(c) = 0:

2c - 4 = 0  →  2c = 4 →  c = 2

إذن، في هذه الحالة، يوجد نقطة واحدة في الفترة (0, 4) حيث f'(2) = 0. هذه هي نقطة رول.

استخدامات مبرهنة رول:

توفر مبرهنة رول أساساً لفهم العديد من النتائج الأخرى الهامة في التحليل، مثل مبرهنة القيمة المتوسطة ومبرهنة لاغرانج. وتعتبر هذه النتائج أدوات قوية للدارسين حيث يستخدمها الباحثون في حل معادلات معقدة وتحليل بيانات متناقضة. وتعزي مبرهنة رول أيضاً إلى تسهيل الفهم لنظرية التجميع في الرياضيات وخصوصاً في دراسة التغير.

بالإنجليزية :

بالفرنسية :

بالصينية :

بالإسبانية :

بالروسية :