قراءة لمدة 1 دقيقة قاعدة سمبسون

بالعربية :

تعتبر قاعدة سمبسون من طرق التقريب المعروفة في الرياضيات، وتحديدًا في حساب التفاضل والتكامل. تستخدم هذه القاعدة لتحقيق تقدير جيد لقيمة التكامل غير المحدد لدالة معينة، وهي مفيدة بشكل خاص عندما يكون لدينا بيانات أو دوال صعبة للغاية للتحليل مباشرةً باستخدام الأساليب التقليدية.

تعتمد قاعدة سمبسون على فكرة تقسيم مسافة التكامل إلى أجزاء أصغر، وتحليل كل جزء كمنحنى بسيط يمكن تقريبه باستخدام متطابقات رياضية معينة، ومن ثم تجميع النتائج. يشمل أسلوب سمبسون استخدام صورة متوسطة للمنحنى، مما يعزز دقة التقديرات.

أنواع قاعدة سمبسون

توجد عدة أنواع لقاعدة سمبسون، منها:

• قاعدة سمبسون البسيطة: تستخدم عندما يكون لدينا عدد زوجي من النقاط، بحيث نستخدم مجموعات من النقاط التبادلية لتقدير مجموع المناحي.
• قاعدة سمبسون الممتدة: تستخدم في حالة وجود عدد أكبر من النقاط، مما يسمح بالتقريب على مزيد من النقاط وتحقيق دقة أعلى.

الصيغة الرياضية

يمكن التعبير عن قاعدة سمبسون بالصورة التالية:

لتقدير التكامل من a إلى b بالنسبة لدالة f(x)، يمكننا استخدام الصيغة:

I ≈ (b - a) / 6 * [f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)]

هنا، I تمثل القيمة التقريبية للتكامل، وa وb يمثلان حدي التكامل، وf(a) وf(b) هما قيم الدالة عند الحديين، بينما (a+b)/2 يمثل القيمة المتوسطة.

مثال تطبيقي

إذا أردنا تقدير التكامل من 0 إلى 2 للدالة f(x) = x² باستخدام قاعدة سمبسون، نبدأ بحساب قيم الدالة عند النقاط:

• f(0) = 0² = 0
• f(2) = 2² = 4
• f(1) = 1² = 1
(النقطة المتوسطة)

ثم نطبق قاعدة سمبسون:

I ≈ (2 - 0) / 6 * [f(0) + 4*f(1) + f(2)]

I ≈ (2) / 6 * [0 + 4*1 + 4] = 2 / 6 * 8 = 16 / 6 ≈ 2.67

لذلك، القيمة التقريبية للتكامل باستخدام قاعدة سمبسون هي حوالي 2.67.

استخدامات قاعدة سمبسون

تستخدم قاعدة سمبسون في العديد من المجالات العلمية والهندسية، مثل:

• الفيزياء: في حساب معدل التغيير وحل المعادلات التفاضلية.
• الهندسة: في تصميم وتحليل الهياكل الهندسية.
• الإحصاء: في تقدير الدوال الاحتمالية وتوزيعات البيانات.

تعتبر قاعدة سمبسون أداة قوية في حساب التفاضل والتكامل، وتوفر طريقة مرنة لتقدير القيم، مما يجعلها واحدة من الأدوات الأساسية في الرياضيات التطبيقية.

بالإنجليزية :

بالفرنسية :

بالصينية :

بالإسبانية :

بالروسية :