قراءة لمدة 1 دقيقة متسلسلة تايلور

بالعربية :

متسلسلة تايلور هي إحدى أهم الأدوات الرياضية المستخدمة في تحليل الوظائف. تم تطويرها في القرن الثامن عشر من قبل عالم الرياضيات البريطاني بروك تايلور. تستخدم هذه المتسلسلة لتقريب الدوال (تقدير قيم الدالة) حول نقطة معينة استنادًا إلى قيم المشتقات عند تلك النقطة.

تُعبر متسلسلة تايلور عن الدالة f(x) بالصيغة التالية:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)² + f'''(a)/3!(x-a)³ + ...

حيث يرمز f'(a) للمشتقة الأولى للدالة عند النقطة a، و!n هو عامل النمط، و(x-a) هو الفرق بين x والنقطة a.

تختص متسلسلة تايلور بشكل خاص في التحليل التقريبي حيث يمكن استخدامها لتقدير القيم الرياضية المعقدة. على سبيل المثال، يمكن استخدامها لتقريب الدوال مثل الجذر التربيعي، اللوغاريتم، والجيب وغيرها.

دعونا نأخذ مثالاً توضيحيًا:

الهدف هو تقريب الدالة f(x) = e^x حول النقطة a = 0.

عند حساب المشتقات:

• f(0) = e^0 = 1
• f'(x) = e^x، وبالتالي f'(0) = 1
• f''(x) = e^x، وبالتالي f''(0) = 1
• وهكذا لكل المشتقات العليا سوف تكون f^n(0) = 1 لكل n.

بذلك تكون متسلسلة تايلور لـ e^x هي:

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

تعتبر متسلسلة تايلور واحدة من الأساسيات في التحليل العددي ولها تطبيقات واسعة في علوم الحاسوب، الفيزياء، والهندسة حيث يتم استخدامها في تقريب الدوال الرياضية المعقدة وتحليل البيانات، وتعتبر حجر الزاوية في العديد من التقنيات مثل حساب التفاضل والتكامل.

أخيرًا، من الأهمية بمكان أن نذكر أن متسلسلة تايلور لا تعمل في جميع الحالات، حيث تتطلب أن تكون الدالة قابلة للتفاضل في جميع النقاط المطلوبة. لذلك، في بعض الأحيان، قد يتم استخدام متسلسلات أخرى مثل متسلسلة ماكلورين أو المتسلسلات التقديرية الأخرى كبديل.

بالإنجليزية :

بالفرنسية :

بالصينية :

بالإسبانية :

بالروسية :