قراءة لمدة 1 دقيقة أثر مصفوفة

بالعربية :

يُعتبر أثر المصفوفة (بالإنجليزية: trace of a matrix، بالفرنسية: trace d'une matrice) من المفاهيم الأساسية في علم الجبر الخطي، ويُعرّف بأنه مجموع عناصر القطر الرئيس للمصفوفة. إذا كانت المصفوفة عبارة عن مصفوفة مربعة ذات رتبة \( n \times n \)، فإن أثرها يُحسب بهذه الطريقة:

إذا كانت المصفوفة \( A \) هي كما يلي:
\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \)

فإن أثر المصفوفة يُعطى بالعلاقة:
\( \text{Tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} \)

لنأخذ مثالاً على ذلك:
إذا كانت لدينا المصفوفة:
\( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)
فإن أثر المصفوفة \( B \) هو:
\( \text{Tr}(B) = 1 + 5 + 9 = 15 \)

استخدامات أثر المصفوفة: يُستخدم أثر المصفوفة في العديد من التطبيقات في الرياضيات وفي المجالات المتعلقة بها. على سبيل المثال:

• في عمليات التحليل الطيفي، حيث يستخدم لتحديد القيم الذاتية.
• في نظرية المصفوفات، للتمييز بين المصفوفات القابلة للتحلل والمصفوفات غير القابلة.
• في تحسين البرمجة، حيث يُساعد في فهم المتغيرات في نمذجة المعطيات المتعددة.

بالإضافة إلى ذلك، يُستخدم أثر المصفوفة في مجالات الفيزياء، حيث يُستخدم في حساب اللاطاقة وتوازن الأنظمة الفيزيائية.

بالإنجليزية :

بالفرنسية :

بالصينية :

بالإسبانية :

بالروسية :