قراءة لمدة 1 دقيقة صيغة مثلثية لعدد مركب

بالعربية :

تُعتبر الأعداد المركبة كتلة جديدة في الرياضيات، وتتكون من عنصرين هما: الجزء الحقيقي والجزء التخيلية، وعادة ما تُكتب بالصورة z = a + bi، حيث يمثل a الجزء الحقيقي، وb هو معامل الجزء التخيلية. لكن بالإضافة إلى هذه الصيغة الأساسية، يمكن أيضًا تمثيل الأعداد المركبة بصيغة مثلثية او ما تُعرف أيضًا بالصورة القطبية.

تُستخدم الصيغة المثلثية لعدد مركب لتحويل العدد بشكل يستند إلى القيمة المطلقة (المقياس) والزاوية (الاتجاه)، وبالتالي يمكن التعبير عن العدد المركب بالصورة التالية:

  z = r (cos θ + i sin θ)

حيث r هو القيمة المطلقة للعدد المركب، وθ هو زاوية العدد المركب في مجال الدائرة. تمثل هذه الهيئة كيف يمكننا تصور العدد المركب على المستوى التخيلي.

لحساب القيمة المطلقة r، يمكن استخدام صيغة:

  r = √(a² + b²)

بينما يتم حساب الزاوية θ باستخدام العلاقة:

  θ = tan⁻¹(b/a)

إذا كانت القيمة a وb كذلك، فإن الزاوية تظل غير محددة، حيث يمكن أن تكون في أي من الربعين الحادي أو الثاني أو الثالث، لذلك يعتمد الأمر على موضع العدد المركب في المستوى.

لنأخذ مثالاً: لنفترض أن لدينا العدد المركب z = 3 + 4i. لنحسب:

• القيمة المطلقة: r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
• الزاوية: θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 0.93 راديان

لذا يمكننا كتابة العدد المركب بـالصيغة المثلثية كالتالي:

  z = 5 (cos 0.93 + i sin 0.93)

تطبيقات الصيغة المثلثية لعدد مركب تشمل مجالات متعددة، مثل تحليل الدوائر الكهربائية، والهندسة، والفيزياء، وتصبح مفيدة بشكل خاص في تحليل الإشارات. كما يُستخدم الجيب وجيب التمام لتبسيط العمليات الرياضية المعقدة التي تشمل الأعداد المركبة، مما يساعد في إيجاد حلول أكثر فعالية.

بالإنجليزية :

بالفرنسية :

بالصينية :

بالإسبانية :

بالروسية :