قراءة لمدة 1 دقيقة تكامل ثلاثي
بالعربية :
تكامل ثلاثييُعتبر التكامل الثلاثي أحد المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، وهو يعتمد على مفهوم التكامل الثنائي لكن في بعد إضافي. يُستخدم التكامل الثلاثي لحساب القيم في الأبعاد الثلاثة، مثل الحجم أو الكتلة لمجالات معينة في الفضاء.
عند عمل تكامل ثلاثي، نقوم بتكامل دالة ثلاثية الأبعاد عبر منطقة محصورة في الفضاء. تعبر هذه العملية عن مجموع القيم في هذه المنطقة، من خلال حساب القيم عند كل نقطة باستخدام ثلاث متغيرات. يُمثّل التكامل الثلاثي عادةً بالصورة التالية:
∭V f(x, y, z) dV
حيث أن f(x, y, z) هي الدالة التي نحتاج لتكاملها، وV هي المنطقة المحصورة، وdV هو العنصر التفاضلي للحجم.
لنفترض أن لدينا دالة f(x, y, z) = x + y + z ونريد حساب التكامل الثلاثي على المكعب الذي حدوده:
- 0 ≤ x ≤ 1
- 0 ≤ y ≤ 1
- 0 ≤ z ≤ 1
لذا، فإن التكامل يصبح:
∭V (x + y + z) dV = ∫01 ∫01 ∫01 (x + y + z) dz dy dx.
نعمل أولاً على التكامل بالنسبة لـ z، ثم بالنسبة لـ y، ثم أخيرًا بالنسبة لـ x. بعد إتمام هذه العملية، يمكننا الحصول على القيم المطلوبة.
تطبيقات التكامل الثلاثي واسعة النطاق. فهي تُستخدم في الفيزياء لحساب الكتل والحجوم والتدفقات، كما تُستخدم في التطبيقات الهندسية لتصميم الكائنات والتحليل الكمي للمواد. أيضًا، لها دور بارز في علوم الحاسوب، خصوصًا في مجالات الرسوميات ثلاثية الأبعاد والتعلم الآلي.
بالتأكيد، فهم التكامل الثلاثي يتطلب الإلمام بمفاهيم التكامل الثنائي والتفاضل، حيث أنه يعتبر خطوة متقدمة في دراسة الرياضيات. لذلك، قبل الغوص في أعماق التكامل الثلاثي، يُفضل التأكد من فهم الأسس السابقة.